公務員考試講義-數字運算(三）

知識點6：和定最值

它一般分為三種題型：同向，逆向，混合類，這三種難度是逐層遞進的，但解題的核心不變，即：若要使某個量最大，其余量應盡可能小。反之，要使某個量最小，其余量應盡可能大。

1．同向和定最值

1.1問法：“求最大值的最大值”或“求最小值的最小值”

1.2求解方法：列舉法

例題1．現有26株樹苗，要分植于5片綠地上，若要使每片綠地上分得的樹苗數各不相同，則分得樹苗最多的綠地最多可以分得幾株樹苗？

【志遠快解】：要求最大量的最大值，并且量各不相同，就應該使其他值盡可能的小，所以最小就應該為1棵，其次為2棵，3棵，4棵，共10棵，所以樹苗最多的綠地最多可以分得26-10=16株。

例題2.6個數的和為48，已知各個數各不相同，且最大的數是11分，則最小數最少是多少？

要求最小量的最小值，并且量各不相同，就該使其他值盡可能的大，所以最大為11分，其次為10分，9分，8分，7分，共45分，所以最小數的最少為48-45=3分。

2．逆向和定最值

2.1．問法：“求最大值的最小值”或“求最小值的最大值”

2.2．求解方法：方程法

例題3．某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同部門，每個部門分得的人數不一樣，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名？

【志遠快解】：要求最大量的最小值，就應該使其他值盡可能的大，但不超過最大值。設行政部門分得的畢業生人數最少為X，則與X想接近的值就為x-1，依次x-2……到x-6，把這幾個數相加等于65，所以得到方程：x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+x-6=65，求解得x=12……2，剩余的兩個人只能加在第一多的和第二多的兩個部門，否則與題意就不符合，所以行政分得的人數至少為12+1=13人。

例題4：現有26株樹苗，要分植于5片綠地上，若要使每片綠地上分得的樹苗數各不相同，則分得樹苗最少的綠地最多可以分得幾株樹苗？

【志遠快解】：要求最小量的最大值，就應該使其他值盡可能的小，但要大于最小值，所以體現的是一個接近的核心，設分得樹苗最少的綠地最多可以分得X株樹苗，第二小的就應該為X+1，依次X+2……X+4，所以列出方程X+X+1+X+2+X+3+X+4=26，X=3……1，剩余的1棵應該加在第一多的那塊地上，如果加在最少的綠地上，則與前一棵的數目就是一樣的，與題意不符合，所以，分得最少的綠地最多可以分得3株。

3．混合極值問題：

3.1．問法：“求第N大的數的最大值”或“求第N大的數的最小值”

3.2．求解方法：同時考慮同向極值和逆向極值

例題5．100人參加7項活動，已知每個人只參加一項活動，而且每項活動參加的人數都不一樣。那么，參加人數第四多的活動最多有幾人參加？

【志遠快解】：求第四多的活動最多有幾人參加。以第四多為分界點，分界點之前是求最大量的最大值，所以屬于同向和定最值，用列舉法，最少的為1，依次為2，3，4；再從分界點之后來看，是求最小量的最大值，屬于逆向和定最值，用列方程的方法求解，設第四多的為x，依次就為x+1，x+2，x+3，列等式x+x+1+x+2+x+3=100-（1+2+3），x=22。所以第四多的活動最多有22人。

例題．現有26株樹苗，要分植于5片綠地上，若要使每片綠地上分得的樹苗數各不相同，則分得樹苗第二多的綠地最少可以分得幾株樹苗？

【志遠快解】：求第二多的綠地最少分得幾株樹苗，以第二多為分界點，分界點之后是求最大量的最大值，所以屬于同向和定最值，用列舉法，最少的為1，依次為2，3；再從分界點往前看，是求最小量的最大值，屬于逆向和定最值，用列方程的方法求解，設第二多的為x，第一多就為x+1，列方程x+x+1=26-（1+2+3），x=9……1，剩余的1棵只能加在最多的那片綠地上，所以第二多的綠地最少可以分到9株。

知識點7：同余定理

同余在考試的時候也會經常性的出現，它一般都是與整除思想相結合的，在備考的過程中要分清楚同余的幾種情況，同余特性經常會與中國剩余定理混淆，所以在備考時要抓住兩者的區別點，避免考試時出錯。

1．同余概念

兩個整數a和b，除以一個大于1的自然數m所得余數相同，就稱a和b對于m同余。

例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21對于4同余。

2．同余特性

（1）余數的和決定和的余數

例：23、16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數等于4，即兩個余數的和3+1。

（2）余數的差決定差的余數

例：23，16除以5的余數分別是3和1，所以 23-16=7除以5的余數等于2，即兩個余數的差3-1。

（3）余數的積決定積的余數

例：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23×16除以5的余數等于3×1=3。

（4）余數的冪決定冪的余數。

例1．求20122012÷5的余數。

一個2012除以5余2，根據余數的積決定積得余數，所以20122012÷5的余數和22012÷5的余數是一樣的，又因為22012=16503，所以16÷5余1，所以20122012÷5的余數和1503÷5的余數一樣，都為1。

例題1．已知a除以2余1，那么27a+20032除以2余幾？（      ）

A．1             B．2          C．3             D．4

【志遠快解】：答案A．27是2的倍數，所以27a是2的倍數，20032除以2余1，則27a+20032除以2余0+1=1。答案選擇A。

例2．今天是星期六，請問再過2010天是星期幾？再過20102010天是星期幾？再過20122012天是星期幾？（      ）

【志遠快解】：2010除以7余1，故再過2010天是星期日。又根據余數的冪決定冪的余數，所以20102010除以7的余數與12010除以7的余數相同，因此20102010除以7的余數為1，所求為星期日。同理，根據余數的冪決定冪的余數，2012除以7余3，所以20122012除以7的余數與32012除以7的的余數相同，又因為3的平方為9，9除以7余數為2，32012=91006，所以最終的余數取決于21006 =8335 ×2=1335×2=2，即為2，所以所求為星期一。

例題3。商店里有6箱貨物，分別重15、16、18、19、20、31千克，兩個顧客買走了其中五箱。已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，商店剩下的一箱貨物重（    ）千克？（      ）

A． 16　　　      B． 18            C． 19          D． 20

【志遠快解】：答案D。和的余數等于余數的和。

采用這種方法的解題點也是：“一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍”。

首先：也是將6箱貨物相加：15+16+18+19+20+31=119；

加后的結果除以3，即119÷3=39…2；此時和的余數等于2。

然后在15、16、18、19、20、31六個數中找除以3余2的數，這個數就是剩下來的沒拿走的那個。

15÷3=5…0；          16÷3=5…1

18÷3=6…0；          19÷3=6…1

20÷3=6…2；          31÷3=10…1

這時將所有與數相加得：0+1+0+1+2+1=5；

                      5÷3=1…2；

運用和的余數等于余數的和，所以找到除以3余2的數，就是剩下來的那箱貨物，即貨物20千克是被剩下來的。因此，本題選D。

 [隨堂練習一]

1．兩個派出所某月內共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，問乙派出所在這個月中共受理多少起非刑事案件？（      ）

A．48    B．60    C．72    D．96

2．某個月有五個星期六，已知這五個日期的和為85，則這個月中最后一個星期六是多少號？（      ）

A．10    B．17    C．24    D．31

3．張老師給幼兒園兩個班的孩子分水果，大班每人分得5個橘子和2個蘋果，小班每人分得3個橘子和2個蘋果。張老師一共分發了135 個橘子和70個蘋果，那么小班共有多少個孩子？（      ）

A．20    B．15    C．18    D．12

4．農業站有一批化肥，第一天賣出一半又多15噸，第二天賣出余下的一半多8噸，第三天賣出180 噸，正好賣完，這批化肥原來有（      ）噸。

5．有一個電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點整時，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是下午幾點鐘？（      ）

A．2    B．3    C．5    D．7

6．某單位購進92箱桔子，每箱至少110個，至多138個，現將桔子數相同的作為一組，箱子數最多的一組至少有幾箱？（      ）

A．3    B．4    C．5    D．6

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